第一章

行列式的性质（以三阶为例）

行列式和它的转置行列式相等

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{21}}&{a_{31}}\\ {a_{12}}&{a_{22}}&{a_{32}}\\ {a_{13}}&{a_{23}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

对换行列式的两行（列），行列式变号

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=0$

行列式的莫一行(列)的所有元素都乘同一个数$k$,等于用数$k$乘此行列式

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {ka_{21}}&{ka_{22}}&{ka_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

行列式如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式等于零

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {ka_{11}}&{ka_{12}}&{ka_{13}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=0$

分行相加性：若行列式的莫一行（列）的元素都是两数之和，原行列式等于两个新行列式之和

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}+{a_{21}'}&{a_{22}}+{a_{22}'}&{a_{23}}+{a_{23}'}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}'}&{a_{22}'}&{a_{23}'}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

把行列式的莫一行（列）的各元素成同一数任何加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}+k{a_{11}}&{a_{22}}+k{a_{12}}&{a_{23}}+k{a_{13}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

$余子式：把(i,j)元{a_{ij}}在的第i行第j列划去后，留下来的{n-1}阶行列式叫做{(i,j)}原{a_{ij}}\\的余子式，记作{M\_{ij}}$

$代数余子式：{A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

$一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元a_{ij}外都为零，那么这行行列式等于a_{ij}\\与它的代数余子式的乘积$

$\begin{vmatrix}{a_{11}}&0&0\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=a_{11}A_{11}$

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
$\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$
范德蒙德行列式
$\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x^2_1&x^2_2&\cdots&x^2_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x^{n-1}_1&x^{n-1}_2&\cdots&x^{n-1}_n\\ \end{vmatrix}=\prod_{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)$ $首先从第n行开始每行减去上一行的x_1倍，\\ 然后D_n=a_{11}A_{11}对于M_{11}每一列可以提取公因式\\ 然后再减去上一行的x_2倍...依次下去最后得到$

$\prod_{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)$

行列式莫一行（列）的元素和另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积为零

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\ne j$

分块
$\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots& &\vdots& &0& \\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}\\ c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{nk}&b_{n1}&\cdots&b_{nn}\\ \end{vmatrix}$
这种情况下$D=A_kB_n$

第一章经典例题

计算行列式 $\begin{vmatrix} & & &\lambda_1\\ & &\lambda_2& \\ &\cdots\\ \lambda_n\\ \end{vmatrix}$

将最后一行换到第一行，换到第二行一直换，一共交换$\cfrac {n(n-1)}2$

$D=(-1)^\frac {n(n-1)}2\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

计算
$D=\begin{vmatrix} 3& 1& 1&1\\ 1& 3&1&1 \\ 1&1&3&1\\ 1&1&1&3\\ \end{vmatrix}$
将四行加在一起然后再进行计算
$\begin{vmatrix} 3& 1& 1&1\\ 1& 3&1&1 \\ 1&1&3&1\\ 1&1&1&3\\ \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1& 1& 1&1\\ 1& 3&1&1 \\ 1&1&3&1\\ 1&1&1&3\\ \end{vmatrix}$
$典例求A_{11}+A_{12}+A_{13}和M_{11}+M_{12}+M_{13}$

$A_{11}+A_{12}+A_{13}=\begin{vmatrix}1&1&1\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$ $M_{11}+M_{12}+M_{13}=\begin{vmatrix}1&-1&1\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{vmatrix}$

第二章

矩阵定义

$n元非齐次线性方程组Ax=B\\ n元齐次线性方程组Ax=O$
矩阵A矩阵B对应位置上的的元素相同，即A=B
$增广矩阵:(A,B)=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&b_{m}\\ \end{pmatrix}$
对角阵：
$\Lambda=diag(\lambda_1,,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\\ \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n\\ \end{pmatrix}$
单位阵：
$E=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix}$

矩阵的运算

矩阵的加减法

对应位置上的元素相加(减)（两的矩阵行列相同）

运算规律：

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

数与矩阵相乘

每个元素都乘$\lambda$

运算规则：

$(\lambda\mu)A=\lambda(\mu)A\\ (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\\ \lambda(A+B)=\lambda A+\mu A\\$

矩阵和矩阵相乘

$设A是一个m*s矩阵，B是一个s*n矩阵，矩阵·A和矩阵B的乘积是一个m*n的矩阵C$

矩阵乘法不满足交换律（除非AB=BA,A与B才是可以交换的）
$矩阵A\ne O，矩阵B\ne O，矩阵AB=O，不能得出A=O或B=O的结论\\ 若AB=AC，不能说明B=C，必须要有A可逆的条件。$
计算规律：
$(AB)C=A(BC)\\ \lambda(AB)=A(\lambda B)\\ A(B+C)=AB+AC\\$
数量阵：
$\begin{pmatrix} \lambda&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda\\ \end{pmatrix}$
矩阵的幂：
$A^1=A,A^2=A^1A^1$

$(AB)^k=ABAB\cdots \\ 只有当AB可交换时才有(AB)^k=A^kB^k\\ 例如(A+B)^2=A^2+2AB+B^2,(A+B)(A-B)=A^2-B^2都需要A和B可交换时才成立$

矩阵的转置

行列转换

运算规律：
$(A^T)^T=A\\ (A+B)^T=A^T+B^T\\ (\lambda A)^T=\lambda A^T\\ (AB)^T=B^TA^T$
如果满足$A^T=A$,那么A称为对称矩阵，简称对称阵。
反对称矩阵：
$A^T=-A\\ 如果A是反对称矩阵那么A^k,当k等于偶数的时候是对称阵，当k等于奇数的时候是反对称阵$

方阵的行列式

运算规律：
${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}A^T\end{vmatrix} }\\ {\begin{vmatrix}\lambda A\end{vmatrix}=\lambda^n\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\\ \begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}$
伴随阵：
$行列式\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}的各个元素的代数余子式构成的矩阵，称为对称阵\\ A^*=\begin{pmatrix}{A_{11}}&{A_{21}}&\cdots&{A_{n1}}\\ {A_{12}}&{A_{22}}&\cdots&{A_{n2}}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ {A_{1n}}&{A_{2n}}&\cdots&{A_{nn}} \end{pmatrix}\\ 伴随阵一定要记得行上面的代数余子式写在列上面$

$AA^*=A^*A=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}E$

逆矩阵：
$对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵使得AB=E那么矩阵A是可逆的，\\矩阵B称为A的逆矩阵 \\如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的\\ 若矩阵A可逆，则\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\ne 0\\ 如果矩阵A\ne 0,则矩阵A可逆，且\\ A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}A^*$
当${\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}}=0$,A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，可逆矩阵就是非奇异矩阵

运算规律：
$若A可逆，则A^{-1}亦可逆，且(A^{-1})^{-1}=A\\ 若A可逆，数\lambda\ne 0,则(\lambda A)^{-1}=\frac1\lambda A^{-1}$
$\phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m\\ 被称为矩阵A的多项式$

克拉默法则

如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于0

那么方程组有惟一解

$\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{array} \right .\\ x_n=\frac{\begin{vmatrix}A_n\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} \\A_j就是第j列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的n阶矩阵$

矩阵分块化

将矩阵进行分块。

分块对角矩阵：

$A=\begin{pmatrix} A_1&0&\cdots&0\\ 0&A_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&A_n\\ \end{pmatrix}\\ {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_2\end{vmatrix}}\cdots{\begin{vmatrix}A_n\end{vmatrix}}$

第三章

矩阵的初等变换

初等行变换：
$1，对换两行\\ 2，以数k\ne 0乘莫一行中所有的元\\ 3，把某一行所有元的k倍加到另一行对于的元上去\\$
矩阵等价关系具有如下性质：
$1，反身性 A\sim A\\ 2,对称性若A\sim B则B\sim A\\ 3,传递性若A\sim B,B\sim C则A\sim C$
行阶梯形矩阵：

非零矩阵满足非零行在零行的上面，非零行的首位非零元所在列在上一行的首位非零元所在列的右边
行最简形矩阵：是行阶梯，并且首位非零元为1，首位非零元所在列的其他元均为0
$设A与B为m*n矩阵，那么\\ (行变换)A\sim B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA=B\\ (列变换)A\sim B的充分必要条件使存在m阶可逆矩阵Q，使得AQ=B\\ A\sim B的充分必要条件使存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B$

三种初等阵分别对单位阵使用三种初等变换
设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在的右边乘相应的n阶初等矩阵
$方阵A可逆的充分必要条件使存在有限个初等矩阵P_1,P_2\cdots,P_l\\使得A=P_1P_2\cdots P_l$

$方阵A可逆的充分必要条件使A\sim E$

用法：利用初等行变换把(A,E)转化成(F,P)，如果F=E说明，说明矩阵A可逆，AP=E

矩阵的秩

$在m*n矩阵A中，任取k行与k列，位于交叉处的k^2个元素，\\不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶\\ A非零子式的最高阶数就是矩阵的秩，零矩阵的秩为零$

秩和行阶梯的行数相同
可逆矩阵的秩等于矩阵阶数，不可逆矩阵小于矩阵阶数。
基本性质：
$1，0\le R(A)\le min(m,n)\\ 2，R(A^T)=R(A)\\ 3,A经过一系列初等变化秩不变。\\ 4,max(R(A),R(B))\le R(A,B)\le R(A)+R(B)\\ 5,当b为非零列向量时，有R(A)\le R(A,b)\le R(A)+R(B)\\ R(A+B)\le R(A)+R(B)$
常用性质：
$7,R(AB)\le min(R(A),R(B))\\ 8,A_{m*n}B_{n*l}=O，则R(A)+R(B)\le n$
线性方程组的解
$非齐次线性方程组Ax=b\\ 1,无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)\\ 2，有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n\\ 3,有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n\\$

$1,n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<0\\ 2,线性方程组有解的情况是R(A)=R(A,b)\\ 3,矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)$